【正确答案】 C

【答案解析】[解析] 本题是平面几何与平面解析几何的简单综合题．考查了三条线段构成三角形的条件和双曲线的定义．
不妨假设AC比BC长，由于AC与BC的长是两个不等的正整数，所以AC-BC≥1．又因为AC，BC，AB是三角形的三条边，所以AC-BC＜AB=2．从而AC-BC=1，即动点C到两定点A，B的距离之差是一个常数，所有其可能的位置必定在某双曲线上．
故正确选项为C．