计算题

某消费者具有效用函数 U( X, Y) = X0.5 Y 0.5 , X 和 Y 的单位价格均为 4 元, 该消费者的收入为 144 元。
试问:

问答题

为使消费者的效用最大化, 消费者对 X 和 Y 的需求应该各为多少单位? (要求写出最优化问题, 然后求解)

【正确答案】

根据题意, 最优化问题为:

构造拉格朗日函数: L=X 0.5 Y0.5 +λ(144-4X-4Y)。
效用最大化的一阶条件为:

【答案解析】
问答题

消费者的总效用是多少? 每单位货币的边际效用是多少?

【正确答案】

总效用 U=X0.5 Y0.5 =180.5 180.5 =18, 每单位货币的边际效用是 λ=MU X /P X =MU Y /P Y =1/8。

【答案解析】
问答题

若 X 的单位价格上升为 9 元, 对两种商品的需求有何变化? 此时总效用为多少?

【正确答案】

若 X 的单位价格上升为 9 元, 预算方程变为 9X+4Y=144, 此时拉格朗日函数为: L′=X0.5Y0.5+λ 1 (144-9X-4Y)。 效用最大化的一阶条件为:

【答案解析】
问答题

X 的单位价格上升为 9 元后, 若要维持当初的效用水平, 消费者的收入最少应该达到多少? (要求写出最优化问题, 然后求解。)

【正确答案】

 消费者的最优化问题为:

现在 P X =9, MU X /P X =MU Y /P Y 也就为 0.5X-0.5 Y0.5 /9=0.5X0.5Y-0.5 /4, 即 Y/9=X/4。




【答案解析】
问答题

求 X 的价格上升为 9 元所带来的替代效应和收入效应。

【正确答案】

由(4) 可知, 若要维持效用水平不变, 则消费者的收入最少应为 216 元, 则:

【答案解析】