设f(x)，g(x)均为[0，T]上的连续可微函数，且f(0)=0，证明：
(Ⅰ)∫
0
T
f(x)g(x)dx=∫
0
T
f'(t)[∫
t
T
g(x)dx]dx；
(Ⅱ)∫
0
T
f(c)dt=∫
0
T
f'(t)(T一t)dt．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由于g(x)连续，所以∫
T
t
g(x)dx关于t可导，则利用凑微分及分部积分法有 ∫
0
T
f(x)g(x)dx=∫
0
T
f(x)d[∫
t
x
g(t)dt]=f(x)∫
T
x
g(t)dt｜
0
T
一∫
0
T
[∫
T
x
g(t)dt]f'(x)dx． 由f(0)=0知，上述第二个等号后的第一项为零，于是 ∫
0
T
f(x)g(x)dx=一∫
0
T
f'(x)[∫
T
x
g(t)dt]dx=∫
0
T
f'(t)[∫
t
T
g(x)dx]dt． (Ⅱ)因f(0)=0，由分部积分法有 ∫
0
T
f(t)dt=∫
0
T
f(t)d(t一T)=f(t)(t一T)｜
0
T
一∫
0
T
(t一T)f'(t)dt =∫
0
T
f'(t)(T—t)dt．
【答案解析】