解答题
19.设函数f(x)在(―a，a)(a＞0)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0．
(Ⅰ)求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使
(Ⅱ)求极限
(Ⅰ)求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使
(Ⅱ)求极限
【正确答案】(Ⅰ)设
则F(0)=0．因而可在[0，x]上对F(x)使用拉格朗日中值定理，即可证得(1)．
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果可将等式左端凑成导数定义的形式，然后取极限求之．
解 (Ⅰ)令
则F(x)在[0，x]上可微，且F(0)=0，对F(x)在[0，x]上使用拉格朗日中值定理，得到θx(0＜θ＜1)，使
F(x)一F(0)=F′(θx)·x，
即
(Ⅱ)利用式①，令x→0+，两边分别取极限，左边得到
右边得到
于是得到
因f′(0)≠0，故
则F(0)=0．因而可在[0，x]上对F(x)使用拉格朗日中值定理，即可证得(1)．
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果可将等式左端凑成导数定义的形式，然后取极限求之．
解 (Ⅰ)令
则F(x)在[0，x]上可微，且F(0)=0，对F(x)在[0，x]上使用拉格朗日中值定理，得到θx(0＜θ＜1)，使
F(x)一F(0)=F′(θx)·x，
即
(Ⅱ)利用式①，令x→0+，两边分别取极限，左边得到
右边得到
于是得到
因f′(0)≠0，故
【答案解析】