证明题

已知晶体的状态方程为,试证明:晶体的体积膨胀在室温下可表示为:,式中,K 为体积 V0 时体积弹性模量,

【正确答案】

证明:
在压强P作用下,晶体体积增加为-ΔV,若不考虑点阵结构中原子的热振动
则在温度T=0K的条件下: P(-ΔV)=ΔU;
P = -dU/dV,     (1)
将(1)式在平衡点附近展开:
P = -dU/dV = - (dU/dV) V0 -(d 2U/dV2 ) V0δV +······
在平衡点晶体系统的势能最小,晶体只受大气压作用,对晶体体积的变化影响非常小, 故P ≈0
∴(dU/dV) V0 =0,即第一项为零。当δV很小时,略去δV的高次项,计算只取线性项。
dU/dV = (d 2U/dV2 ) V0δV= [ (V- V0)/V0]×[V0(d 2U/dV2 ) V0]     (2)
晶体的体积弹性模量K=1/κ = - V(dP/dV)T
∴ 在平衡状态下晶体的体积弹性模量 K= V0(d 2U/dV2 ) V0    (3)
V0是在该状态下晶体体积.
      (4)
由(2)、(3)和(4)式可以得到

晶体只受大气压作用,对晶体体积的变化影响非常小,故P ≈0

【答案解析】