解答题
2.(04年)设有向量α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．试讨论当a、b为何值时，
(1)β不能由α1，α2，α3线性表示；
(2)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式；
(3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．
(1)β不能由α1，α2，α3线性表示；
(2)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式；
(3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．
【正确答案】设有一组数χ1，χ2，χ3使得
χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝β (*)
对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：
(1)当a＝0，b为任意常数时，有
可知r(A)≠r(
)，故方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．
(2)当a≠0，且a≠b时，r(A)＝r(
)＝3，方程组(*)有唯一解：χ1＝1－
，χ2＝
，χ3＝0．故此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为：β＝
(3)当a＝b≠0时，对
施行初等行变换：
可知r(A)＝r(
)＝2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：χ1＝1－
，χ2＝
＋C，χ3＝C其中C为任意常数．故此时β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为β＝
χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝β (*)
对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：
(1)当a＝0，b为任意常数时，有
可知r(A)≠r(
)，故方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，且a≠b时，r(A)＝r(
)＝3，方程组(*)有唯一解：χ1＝1－，χ2＝，χ3＝0．故此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为：β＝(3)当a＝b≠0时，对
施行初等行变换：可知r(A)＝r(
)＝2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：χ1＝1－，χ2＝＋C，χ3＝C其中C为任意常数．故此时β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为β＝【答案解析】