二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+cx
3
2
-2x
1
x
2
-6x
2
x
3
+6x
1
x
3
的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的坐标变换．
【正确答案】正确答案：二次型矩阵A=
，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有 ｜A｜=24(c-3)=0
c=3． 由特征多项式
可知矩阵A的特征值是0，4，9． 由(0E-A)x=0得A=0的特征向量α
1
=(-1，1，2)
T
． 由(4E-A)x=0得A=4的特征向量α
2
=(1，1，0)
T
． 由(9E-A)x=0得A=9的特征向量α
3
=(1，-1，1)
T
． 令P
1
=(α
1
，α
2
，α
3
)，经x=P
1
y有x
T
Ax=y
T
Ay=
． 而所用坐标变换是x=Cz，其中
，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有 ｜A｜=24(c-3)=0
c=3． 由特征多项式
可知矩阵A的特征值是0，4，9． 由(0E-A)x=0得A=0的特征向量α
1
=(-1，1，2)
T
． 由(4E-A)x=0得A=4的特征向量α
2
=(1，1，0)
T
． 由(9E-A)x=0得A=9的特征向量α
3
=(1，-1，1)
T
． 令P
1
=(α
1
，α
2
，α
3
)，经x=P
1
y有x
T
Ax=y
T
Ay=
． 而所用坐标变换是x=Cz，其中
【答案解析】