问答题
(本题满分11分)
设三维列向量组α 1 ，α 2 线性无关，列向量组卢β 1 ，β 2 线性无关。
(Ⅰ)证明存在非零列向量γ，使得γ可同时由向量组α 1 ，α 2 和向量组β 1 ，β 2 线性表示；
(Ⅱ)当α 1 =(1，2，2) T ，α 2 =(2，1，3) T ，β 1 =(1，0，3) T ，β 2 =(0，4，-2) T 时，求出所有非零列向量γ。
设三维列向量组α 1 ，α 2 线性无关，列向量组卢β 1 ，β 2 线性无关。
(Ⅰ)证明存在非零列向量γ，使得γ可同时由向量组α 1 ，α 2 和向量组β 1 ，β 2 线性表示；
(Ⅱ)当α 1 =(1，2，2) T ，α 2 =(2，1，3) T ，β 1 =(1，0，3) T ，β 2 =(0，4，-2) T 时，求出所有非零列向量γ。
【正确答案】
【答案解析】解：(Ⅰ)由于4个三维列向量α
1
，α
2
，β
1
，β
2
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不全为0的数戈x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，使得x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
β
1
+x
4
β
2
=0，即x
1
α
1
+x
2
α
2
=-x
3
β
1
-x
4
β
2
。
又向量组α 1 ，α 2 线性无关，向量组卢β 1 ，β 2 线性无关，故x 1 ，x 2 不全为0，x 3 ，x 4 不全为0。
记γ=x 1 α 1 +x 2 α 2 =-x 3 β 1 -x 4 β 2 ，则γ≠0，即存在非零列向量γ，使得γ可同时由向量组α 1 ，α 2 和向量组卢β 1 ，β 2 线性表示。
(Ⅱ)易知，求出齐次线性方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 β 1 +x 4 β 2 =0的所有非零解，即可得所有非零向量γ。下面将方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 β 1 +x 4 β 2 =0的系数矩阵A施行初等行变换化为行最简形：
又向量组α 1 ，α 2 线性无关，向量组卢β 1 ，β 2 线性无关，故x 1 ，x 2 不全为0，x 3 ，x 4 不全为0。
记γ=x 1 α 1 +x 2 α 2 =-x 3 β 1 -x 4 β 2 ，则γ≠0，即存在非零列向量γ，使得γ可同时由向量组α 1 ，α 2 和向量组卢β 1 ，β 2 线性表示。
(Ⅱ)易知，求出齐次线性方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 β 1 +x 4 β 2 =0的所有非零解，即可得所有非零向量γ。下面将方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 β 1 +x 4 β 2 =0的系数矩阵A施行初等行变换化为行最简形：