问答题
求下列三重积分：
(Ⅰ)I=
xy
2
z
3
dV，其中Ω是由曲面z=xy，y=x，z=0，x=1所围成的区域；
(Ⅱ)I=
，y=0，z=0，x+z=
围成；
(Ⅲ)I=
xy
2
z
3
dV，其中Ω是由曲面z=xy，y=x，z=0，x=1所围成的区域；
(Ⅱ)I=
，y=0，z=0，x+z=
围成；
(Ⅲ)I=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)空间区域Ω的图形不太直观，但是，它在xOy半回上的投影区域D
xy
为由y=0，y=x及x=1所围成的三角形，即图9．54所示，并且Ω的下侧边界是z=0，上侧边界为z=xy．这些条件对确定积分限已足够．Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，(x，y)∈D，y}，D
xy
：0≤x≤1，0≤y≤x．
dxdy∫
0
xy
xy
2
z
3
dz=∫
0
1
xdx∫
0
x
y
2
dy∫
0
xy
z
3
dz =
∫
0
1
xdx∫
0
x
y
2
z
4
｜
0
xy
dy =
∫
0
1
x
5
dx∫
0
x
y
6
dy=
． (Ⅱ)Ω是柱形长条区域，上顶是平面x+z=
，下底是Oxy平面，即z=0，侧面是柱面y=0，y=
与Oxy平面交于直线x=
，于是 Ω={(x，y，z)｜0≤z≤
一x，(x，y)∈D
xy
}，D
xy
如图9．55． 也可看成Ω={(x，y，z)｜0≤y≤
，(x，y)∈D
xy
}．注意y=
与Ozx平面交于x=0，D
xy
如图9．56．因此有
(Ⅲ)Ω是锥体(顶点是原点，对称轴是x轴)被平面x=1，x=2所截部分，被积函数只与x有关，x∈[1，2]，与x轴垂直平面截Ω得圆域D(x)，半径为x，面积为πx
2
，于是用先二后一(先yz后x)的积分顺序得 I=∫
1
2
dx
(1+x
4
)dydz=∫
1
2
(1+x
4
)πx
2
dx =
dxdy∫
0
xy
xy
2
z
3
dz=∫
0
1
xdx∫
0
x
y
2
dy∫
0
xy
z
3
dz =
∫
0
1
xdx∫
0
x
y
2
z
4
｜
0
xy
dy =
∫
0
1
x
5
dx∫
0
x
y
6
dy=
． (Ⅱ)Ω是柱形长条区域，上顶是平面x+z=
，下底是Oxy平面，即z=0，侧面是柱面y=0，y=
与Oxy平面交于直线x=
，于是 Ω={(x，y，z)｜0≤z≤
一x，(x，y)∈D
xy
}，D
xy
如图9．55． 也可看成Ω={(x，y，z)｜0≤y≤
，(x，y)∈D
xy
}．注意y=
与Ozx平面交于x=0，D
xy
如图9．56．因此有
(Ⅲ)Ω是锥体(顶点是原点，对称轴是x轴)被平面x=1，x=2所截部分，被积函数只与x有关，x∈[1，2]，与x轴垂直平面截Ω得圆域D(x)，半径为x，面积为πx
2
，于是用先二后一(先yz后x)的积分顺序得 I=∫
1
2
dx
(1+x
4
)dydz=∫
1
2
(1+x
4
)πx
2
dx =
【答案解析】