问答题
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx(其中，x=(x1，x2，x3)T，A是三阶实对称矩阵)经过正交变换x=Qy(其中，y=(y1，y2，y3)T，Q是正交矩阵)化为标准形
【正确答案】(Ⅰ)由题设知，A有特征值λ1=2，λ2=λ3=-1．从而λ1对应A*的特征值μ1=[*]，所以由A*α=α知μ1=1对应的特征向量为α=(1，1，-1)T，由此可知A的对应λ1=1的特征向量为α．
设λ2=λ3=-1对应的特征向量为β=(b1，b2，b3)，则由A是实对称矩阵知β与α正交，即
b1+b2-b3=0．
故可取β为它们的基础解系，即
β1=(-1，1，0)T， β2=(1，0，1)T．
现将它们正交化：
γ1=β1=(-1，1，0)T，
[*]
显然，α，γ1，γ2是正交向量组，现将它们单位化得
[*]
于是所求的正交矩阵为Q=(ξ1，ξ2，ξ3)，它使
[*]
所以[*]
[*]
(Ⅱ)由于f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy的标准形为[*]
故令[*]即[*]或[*]则
[*](规范形)．
从而f(x1，x2，x3)在可逆线性变换
[*]
下化为规范形，即
[*]
设λ2=λ3=-1对应的特征向量为β=(b1，b2，b3)，则由A是实对称矩阵知β与α正交，即
b1+b2-b3=0．
故可取β为它们的基础解系，即
β1=(-1，1，0)T， β2=(1，0，1)T．
现将它们正交化：
γ1=β1=(-1，1，0)T，
[*]
显然，α，γ1，γ2是正交向量组，现将它们单位化得
[*]
于是所求的正交矩阵为Q=(ξ1，ξ2，ξ3)，它使
[*]
所以[*]
[*]
(Ⅱ)由于f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy的标准形为[*]
故令[*]即[*]或[*]则
[*](规范形)．
从而f(x1，x2，x3)在可逆线性变换
[*]
下化为规范形，即
[*]
【答案解析】设A是n阶可逆矩阵，有λ及对应的特征向量α，则A的伴随矩阵A*有特征值[*]及对应的特征向量α．
(Ⅱ)要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法．
(Ⅱ)要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法．