解答题
18.f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)=0，f(1)=1，f′(0)=0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f′″(ξ)=3．
【正确答案】由泰勒公式得
f(－1)=f(0)+f′(0)(－1－0)+
，ξ1∈(－1，0)，
f(1)=f(0)+f′(0)(1－0)+
，ξ2∈(0，1)，
则f(0)+
=0，f(0)+
=1，
两式相减得f′″(ξ1)+f′″(ξ2)=6．
因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f′″(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f′″(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f′″(ξ1)+f′″(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
f(－1)=f(0)+f′(0)(－1－0)+
，ξ1∈(－1，0)，f(1)=f(0)+f′(0)(1－0)+
，ξ2∈(0，1)，则f(0)+
=0，f(0)+=1，两式相减得f′″(ξ1)+f′″(ξ2)=6．
因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f′″(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f′″(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f′″(ξ1)+f′″(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
【答案解析】