设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫
a
b
f(x)dx=0．证明：
问答题
存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；
【正确答案】正确答案：令F(x)=∫
a
x
f(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F'(x)= f(x)．故存在c∈(a，b)，使得 ∫
a
b
f(x)dx=F(b)－F(a)=F'(c)(b－a)=f(c)(b－a)=0，且f(c)=0．
【答案解析】
问答题
存在ξ
i
∈(a，b)(i=1，2)，且ξ
1
≠ξ
2
，使得f'(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1，2)；
【正确答案】正确答案：令h(x)=e
x
f(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，ξ
1
存在(a，c)，ξ
2
∈(c，b)，使得h'(ξ
1
)=h'(ξ
2
)=0，而h'(x)=e
x
[f'(x)+f(x)]且e
x
≠0，所以f'(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1，2)．
【答案解析】
问答题
存在ξ∈(a，b)，使得f''(ξ)=f(ξ)；
【正确答案】正确答案：令φ(x)=e
－x
[f'(x)+f(x)]，φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)
【答案解析】
问答题
存在η∈(a，b)，使得f''(η)－3f'(η)+zf(η)=0．
【正确答案】正确答案：令g(x)=e
－x
f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在η
1
∈(a，c)，η
2
∈(c，b)，使得g'(η
1
)=g'(η
2
)=0， 而g'(x)=e
－x
[f'(x)－f(x)]且e
－x
≠0，所以f'(η
1
)－f(η
1
)=0,f'(η
2
)－f(η
2
)=0． 令φ(x)=e
－2x
[f'(x)－f(x)]，φ(η
1
)=φ(η
2
)=0， 由罗尔定理，存在η∈(η
1
，η
2
)
【答案解析】