【正确答案】(Ⅰ)将f(x₁，x₂，x₃)用配方法化为标准形，得
[*]
令[*]
即[*]
得f的标准形为 [*]
所作的可逆线性变换为X=CY，其中[*]
A的对应二次型的标准形为[*]，正惯性指数p=3=r=n，故知A是正定阵．(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定阵．)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知[*]是f(x₁，x₂，x₃)的对应矩阵，即f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX．
由(Ⅰ)知令X=CY，其中[*]，得f=X^TAX=Y^TC^TACY=Y^TEY，
故C^TAC=E，A=(C^-1)^TC^-1=D^TD，其中D=C^-1．
由
[*]
故
[*]