【正确答案】[解] (Ⅰ)据已知条件，有

记及P₁=(α₁，α₂，α₃)，那么由α₁，α₂，α₃线性无关知矩阵P₁可逆，且即A与B相似．
由矩阵B的特征多项式

得矩阵B的特征值是1，2，3．从而知矩阵A的特征值是1，2，3．
(Ⅱ)由(E-B)x=0得基础解系β₁=(1，1，1)^T，即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量，由(2E-B)x=0得基础解系β₂=(2，3，3)^T，即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，由(3E-B)x=0得基础解系β₃=(1，3，4)^T，即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量，
那么令P₂=(β₁，β₂，β₃)，则有于是令

则有
所以矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为
k₁(α₁+α₂+α₃)，k₂(2α₁+3α₂+3α₃)，k₃(α₁+3α₂+4α₃)，k_i≠0(i=1，2，3)
(Ⅲ)由及|A|=6知，
从而，所以秩r(A*-6E)=2．