问答题
设A是n阶反对称矩阵，
问答题
证明对任何n维列向量α，恒有α
T
Aα=0；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 因为α
T
Aα是1×1矩阵，是一个数，故
α
T
Aα=(α
T
Aα)
T
=α
T
A
T
(α
T
)
T
=-α
T
Aα．
所以恒有α
T
Aα=0．
问答题
设A还是实矩阵证明对任何非零实数c，矩阵A+cE恒可逆．
【正确答案】
【答案解析】[证明] (反证法)如果矩阵A+cE不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0有非零实解，设其为η，则
Aη=-cη，η≠0．
左乘η
T
，得η
T
ηAη=-cη
T
η≠0．
与(1)矛盾．故矩阵A+cE恒可逆．