f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
【正确答案】正确答案：因为f"(x)在[0，1]上连续，所以，f"(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x
1
，x
2
∈[0，1]，使f"(x
1
)=m，f"(x
2
)=M． 由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)-f(0)=f"(η)x，于是有 f"(x
1
)x=mx≤f(x)=f(x)-f(0)=f"(η)x≤Mx=f"(x
2
)x，
因为f"(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x
1
，x
2
]
[0，1]，或ξ∈[x
2
，x
1
]
[0，1]，使f"(ξ)=
因为f"(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x
1
，x
2
]
[0，1]，或ξ∈[x
2
，x
1
]
[0，1]，使f"(ξ)=
【答案解析】