解答题
18.已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Qy
化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．
化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．
【正确答案】本题主要考查特征值的性质及二次型通过正交变换化为标准形，是一道有一定难度的综合题．
二次型的矩阵为
由题设知矩阵A的特征值为λ1=3，λ2=3，λ3=b．由特征值的性质，得
解得a=一2，b=一3，从而矩阵A的特征值是3，3，一3．
当λ=3时，对(3E—A)x=0的系数矩阵作初等行变换，
二次型的矩阵为
由题设知矩阵A的特征值为λ1=3，λ2=3，λ3=b．由特征值的性质，得
解得a=一2，b=一3，从而矩阵A的特征值是3，3，一3．
当λ=3时，对(3E—A)x=0的系数矩阵作初等行变换，
【答案解析】