问答题
设矩阵A＝
【正确答案】正确答案：由｜λE－A｜＝
＝(λ﹢2)[(λ－1)
2
－1]＝(λ﹢2)λ(λ－2)，知A有特征值λ
1
＝－2，λ
2
＝0，λ
3
＝－2． 由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值)，故A～
＝A
1
，所以存在正交矩阵P，使得P
－1
AP=A
1
，故A＝PA
1
P
－1
，代入矩阵B，有B＝(μE﹢A)
n
＝(μPP
－1
﹢PA
1
P
－1
)
n
＝[P(μE﹢A
1
)P
－1
]
n
＝P(μE﹢A
1
)
n
P
－1
＝(λ﹢2)[(λ－1)
2
－1]＝(λ﹢2)λ(λ－2)，知A有特征值λ
1
＝－2，λ
2
＝0，λ
3
＝－2． 由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值)，故A～
＝A
1
，所以存在正交矩阵P，使得P
－1
AP=A
1
，故A＝PA
1
P
－1
，代入矩阵B，有B＝(μE﹢A)
n
＝(μPP
－1
﹢PA
1
P
－1
)
n
＝[P(μE﹢A
1
)P
－1
]
n
＝P(μE﹢A
1
)
n
P
－1
【答案解析】