问答题
解下列微分方程：
问答题
y"""-y=sinx；
【正确答案】
【答案解析】[解]特征方程λ
3
-1=0，即
对应齐次方程的通解为
非齐次方程特解为
故原方程通解为
对应齐次方程的通解为
非齐次方程特解为
故原方程通解为
问答题
y"""+y"+y"+y=cos3x；
【正确答案】
【答案解析】[解]特征方程为λ
3
+λ
2
+λ+1=0
(λ+1)(λ
2
+1)=0
λ
1
=-1，λ
2，3
=±i，
对应齐次方程的通解为y(x)=C 1 e -x +C 2 cosx+C 3 sinx．
非齐次方程的特解为
故原方程的通解为
(λ+1)(λ
2
+1)=0
λ
1
=-1，λ
2，3
=±i，
对应齐次方程的通解为y(x)=C 1 e -x +C 2 cosx+C 3 sinx．
非齐次方程的特解为
故原方程的通解为
问答题
y"""-2y"-3y"=x
2
+2x-1；
【正确答案】
【答案解析】[解]特征方程为λ
3
-2λ
2
-3λ=0
λ(λ
2
-2λ-3)=0
λ
1
=0，λ
2
=-1，λ
3
=3，
对应齐次方程通解为y(x)=C 1 +C 2 e -x +C 3 e 3x ．
非齐次方程特解为
故原方程的通解为
λ(λ
2
-2λ-3)=0
λ
1
=0，λ
2
=-1，λ
3
=3，
对应齐次方程通解为y(x)=C 1 +C 2 e -x +C 3 e 3x ．
非齐次方程特解为
故原方程的通解为
问答题
y"-6y"+9y=(x+1)e
3x
；
【正确答案】
【答案解析】[解]特征方程为λ
2
-6λ+9=0
(λ-3)
2
=0
λ=3(重根)，
对应齐次方程的通解为y(x)=e 3x (C 1 +C 2 x)．
非齐次方程特解为
故原方程的通解为
(λ-3)
2
=0
λ=3(重根)，
对应齐次方程的通解为y(x)=e 3x (C 1 +C 2 x)．
非齐次方程特解为
故原方程的通解为
问答题
y"-2y"+2y=xe
x
cosx．
【正确答案】
【答案解析】[解]特征方程为λ
2
-2λ+2=0
λ=1±i．
对应齐次方程的通解为y(x)=e x (C 1 cosx+C 2 sinx)．
非齐次方程的特解为
因为cosx是e ix 的实部，所以先求
再取实部，即得
故原方程的通解为
λ=1±i．
对应齐次方程的通解为y(x)=e x (C 1 cosx+C 2 sinx)．
非齐次方程的特解为
因为cosx是e ix 的实部，所以先求
再取实部，即得
故原方程的通解为