二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+cx
3
2
—2x
1
x
2
—6x
2
x
3
+6x
1
x
3
的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的变换．
【正确答案】正确答案：二次型矩阵A=
，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有 ｜A｜=24(c一3)=0 → c=3． 用配方法求规范形和所作变换． f(x
1
，x
2
，x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+3x
3
2
一2x
1
x
2
+6x
1
x
3
—6x
2
x
3
=3(x
3
+x
1
+x
2
)
2
—3(x
1
一x
2
)
2
+5x
1
2
+5x
2
2
一2x
1
x
2
=3(x
1
—x
2
+x
3
)
2
+2x
1
2
+2x
2
2
+4x
1
x
2
=3(x
1
—x
2
+x
3
)
2
+2(x
1
+x
2
)
2
令
则f(x
1
，x
2
，x
3
)=y
1
2
+y
2
2
，为规范二次型． 所作变换为
，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有 ｜A｜=24(c一3)=0 → c=3． 用配方法求规范形和所作变换． f(x
1
，x
2
，x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+3x
3
2
一2x
1
x
2
+6x
1
x
3
—6x
2
x
3
=3(x
3
+x
1
+x
2
)
2
—3(x
1
一x
2
)
2
+5x
1
2
+5x
2
2
一2x
1
x
2
=3(x
1
—x
2
+x
3
)
2
+2x
1
2
+2x
2
2
+4x
1
x
2
=3(x
1
—x
2
+x
3
)
2
+2(x
1
+x
2
)
2
令
则f(x
1
，x
2
，x
3
)=y
1
2
+y
2
2
，为规范二次型． 所作变换为
【答案解析】