设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f"(x)＞—
【正确答案】正确答案：(1)S
1
(c)=cf(c)，S
2
(c)=∫
c
1
f(t)dt=一∫
1
c
f(t)dt，即证明S
1
(c)=S
2
(c)，或cf(c)+∫
1
c
f(t)dt=0．令φ(x)=x∫
1
x
f(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在f∈(0，1)，使得φ"(c)=0，即cf(f)+∫
1
c
f(t)dt=0，所以S
1
(c)=S
2
(c)，命题得证． (2)令h(x)=xf(x)一∫
x
1
f(t)dt，因为h"(x)=f(x)+xf"(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．
【答案解析】