单选题
设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，则下述命题中正确的是
【正确答案】
D
【答案解析】[解析1] 若在(-∞，+∞)上f"(x)＞0，则一定有f(x)在(-∞，+∞)上单调增加，但可导函数f(x)在(-∞，+∞)单调增加，只能有f"(x)≥0(即可能在某些点上f"(x)=0)，例如f(x)=x
3
在(-∞，+∞)上单调增加，f"(0)=0．因此不选A．
f(x)若在x 0 处取得极值，且f"(x 0 )存在，则有f"(x 0 )=0，但当f(x)在x 0 处取得极值，在x 0 处不可导，就得不到f"(x 0 )=0，例如f(x)=|x|在x 0 =0处取得极小值，它在x 0 =0处不可导，因此不选B．
如果f(x)在x 0 处二阶导数存在，且(x 0 ，f(x 0 ))是曲线的拐点坐标，则f"(x 0 )=0，反之不一定，例如f(x)=x 4 在x 0 =0处f"(0)=0，但f(x)在(-∞，+∞)没有拐点，因此不选C．由上分析，应选D．
[解析2] 可以证明D是正确的．
不妨设f""(x 0 )>0．由带皮亚诺余项的泰勒公式得
f(x)=f(x 0 )+f"(x 0 )(x-x 0 )+
+o((x-x
0
)
3
)(x→x
0
)
f(x)-f(x
0
)=
当x→x
0
时o(1)为无穷小量．
由极限的保号性质
，当0＜|x-x
0
|＜δ时，
f(x)若在x 0 处取得极值，且f"(x 0 )存在，则有f"(x 0 )=0，但当f(x)在x 0 处取得极值，在x 0 处不可导，就得不到f"(x 0 )=0，例如f(x)=|x|在x 0 =0处取得极小值，它在x 0 =0处不可导，因此不选B．
如果f(x)在x 0 处二阶导数存在，且(x 0 ，f(x 0 ))是曲线的拐点坐标，则f"(x 0 )=0，反之不一定，例如f(x)=x 4 在x 0 =0处f"(0)=0，但f(x)在(-∞，+∞)没有拐点，因此不选C．由上分析，应选D．
[解析2] 可以证明D是正确的．
不妨设f""(x 0 )>0．由带皮亚诺余项的泰勒公式得
f(x)=f(x 0 )+f"(x 0 )(x-x 0 )+
+o((x-x
0
)
3
)(x→x
0
)
f(x)-f(x
0
)=
当x→x
0
时o(1)为无穷小量．
由极限的保号性质
，当0＜|x-x
0
|＜δ时，