【正确答案】
【答案解析】[证明] 必要性．因为α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
线性相关，故存在不全为0的k
1
，k
2
，…，k
s
，l
1
，l
2
，…，l
t
使得 k
1
α
2
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
+l
1
β
1
+l
2
β
2
+…+l
t
β
t
=0，令
γ=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=-l
1
β
1
-l
2
β
2
-…-l
t
β
t
，
则必有γ≠0．否则
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0 且-l
1
β
1
-l
2
β
2
-…-l
t
β
t
=0．
由于α
1
，α
2
，…，α
s
与β
1
，β
2
，…，β
t
均线性无关，故k
1
=k
2
=…=k
s
=0，l
1
=l
2
=…=l
t
=0，这与k
1
，k
2
，…，k
s
，l
1
，l
2
，…，l
t
不全为0相矛盾．从而有非0的γ，它既可由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，也可由β
1
，β
2
，…，β
t
线性表出．
充分性．由于有非0的γ使
γ=x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
s
α
s
且γ=y
1
β
1
+y
2
β
2
+…+y
t
β
t
，
那么x
1
，x
2
，…，x
s
与y
1
，y
2
，…，y
t
必不全为0．从而
x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
s
α
s
-y
1
β
1
-y
2
β
2
-…-y
t
β
t
=0，
即α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
线性相关．