设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅲ)等价．
【正确答案】正确答案：设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，(Ⅱ)的一个极大无关组为η
1
，η
2
，…η
r
因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)表示，即ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
可由η
1
，η
2
，…，η
r
线性表示，于是 r(ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，η
1
，η
2
，…，η
r
)=r(η
1
，η
2
，…，η
r
)=r 又ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
线性无关，则ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，也可作为ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，η
1
，η
2
，…，η
r
的一个极大无关组，于是η
1
，η
2
，…，η
r
也可由ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)表示，得证
【答案解析】