问答题
设H为Hilbert空间，A∈BL(H)。求证：
(a)A为紧算子当且仅当A*A为紧算子。
(b)若A为紧的，则A*为紧的。
【正确答案】(a)设A为紧的，设{x
n}为H中的有界列，y
n=A(x
n)，z
n=A
*A(x
n)=A
*(y
n)。则{y
n}有子列{y
nj}收敛到H中某元y。从而
z
nj=A
*(y
nj)→A
*(y)
这说明{z
n}为{A
*A(x
n)}的收敛子列。这就证明了A
*A为紧的。
反之，设A
*A为紧的，若{x
n}，{y
n}及{z
n}如上，则{z
n}有一收敛子列{z
nj}。假设任取n有‖x
n‖≤α，则对所有的n，m有
<y
n-y
m，y
n-y
m>=<A(x
n-x
m)，A(x
n-x
m)>
=<x
n-x
m，A
*A(x
n-x
m)>
=<x
n-x
m，z
n-z
m>
因此有
‖y
n-y
m‖
2≤‖x
n-x
m‖ ‖z
n-z
m‖≤2α‖z
n-z
m‖
由于{z
n}为柯西列，由上式知{y
n}也为柯西列。因此{y
n}在H中收敛。这说明A为紧的。
(b)若A为紧的，设{x
n}为H的有界列，y
n=A
*(x
n)。则{y
n}为有界列，这是由于A
*为有界的。因此{Ay
n}有一收敛子列{Ay
nj}，即{AA
*x
n}有一收敛子列{AA
*x
nj}。这就证明了AA
*为紧的。但AA
*=(A
*)
*A
*，故由(a)知A
*为紧的
【答案解析】