解答题
7.将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反：
(Ⅰ)
f(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分；
(Ⅱ)计算
(Ⅰ)
f(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分；(Ⅱ)计算
【正确答案】(Ⅰ)D的极坐标表示：
≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即
≤0≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，则D为左半圆域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+(y－
，x≤0．
用先对y后对x积分．D：
，于是
原式=
(Ⅱ)积分区域D为扇形{(x，y)｜0≤y≤
R，0≤x≤y}∪{(x，y)｜
R≤y≤R，0≤x≤
所以 原式=
≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即≤0≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，则D为左半圆域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+(y－，x≤0．用先对y后对x积分．D：
，于是原式=
(Ⅱ)积分区域D为扇形{(x，y)｜0≤y≤
R，0≤x≤y}∪{(x，y)｜R≤y≤R，0≤x≤所以 原式=
【答案解析】题(Ⅰ)是极坐标变换下的累次积分，先写成