选择题   以下三个命题：
    ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；
    ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
    ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
    正确的个数为______
 
【正确答案】 D
【答案解析】 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有
   |un-A|＜ε，
   则当ni＞N时，恒有
   |uni-A|＜ε，
   因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．
   对于命题②，不妨设数列{xn}为单调递增的，即
   x1≤x2≤…≤xn≤…，
   其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有
   |xni-A|＜ε．
   由于数列{xn}为单调递增的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有
   -ε＜xni-A≤xn-A≤xni+1-A＜ε，
   从而    |xn-A|＜ε，
   可知数列{xn}收敛于A．因此命题正确．
   对于命题③，因[*]由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2，使得
   当2n＞N1时，恒有|x2n-A|＜ε；
   当2n+1＞N2时，恒有|x2n+1-A|＜ε．
   取N=max{N1，N2}，则当n＞N时．总有|xn-A|＜ε．因此[*]可知命题正确．
   故答案选择D．