问答题
(本题满分10分)
设幂级数
在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y""-2xy"-4y=0，且y(0)=0，y"(0)=1．
(Ⅰ)证明：
设幂级数
在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y""-2xy"-4y=0，且y(0)=0，y"(0)=1．
(Ⅰ)证明：
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)因幂级数在(-∞，+∞)内收敛，故其和函数y(x)在(-∞，+∞)内任意阶可导，故有
于是得
由y(x)=
及y(0)=0，得a
0
=0．再由上式得a
2
=0，进而可得
(n+2)(n+1)a n+2 -2(n+2)a n =0，n=1，2，…．因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，a 2 =a 4 =…=a 2n =0，n=1，2，…．
由y"(0)=1及．y(x)=
，得a
1
=1，于是仍由(Ⅰ)得
于是
于是得
由y(x)=
及y(0)=0，得a
0
=0．再由上式得a
2
=0，进而可得
(n+2)(n+1)a n+2 -2(n+2)a n =0，n=1，2，…．因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，a 2 =a 4 =…=a 2n =0，n=1，2，…．
由y"(0)=1及．y(x)=
，得a
1
=1，于是仍由(Ⅰ)得
于是