填空题
二阶常系数非齐次线性微分方程y
''
－2y
'
+5y=e
x
cos
2
x的通解为y(x)= 1。
- 1、
【正确答案】
1、{{*HTML*}}正确答案：e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)+
【答案解析】解析：该方程的齐次方程所对应的特征方程为λ
2
一2λ+5=0，解得特征根为λ=1±2i，可知齐次方程的通解为 e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)。 该方程的非齐次项 e
x
cos
2
x=e
x
e
x
cos2x， 根据叠加原理 y
''
一2y
'
+5y=e
x
cos
2
x=
e
x
cos2x， 此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得， y
''
一2y
'
+5y=
e
x
， (1) y
''
一2y
'
+5y=
e
x
cos2x， (2) 根据特征根λ=1±2i可知，方程(1)的特解可设为y
1
*
=Ce
x
代入方程(1)解得C=
， 故y
1
*
=
e
x
；方程(2)的特解可设为 y
2
*
=xe
x
(Acos2x+Bsin2x)， 代入方程(2)解得A=0，B=
xe
x
sin2x。 则y
*
(x)=y
1
*
+y
2
*
=
xe
x
sin2x。 故该方程的通解为 e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)+
e
x
cos2x， 根据叠加原理 y
''
一2y
'
+5y=e
x
cos
2
x=
e
x
cos2x， 此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得， y
''
一2y
'
+5y=
e
x
， (1) y
''
一2y
'
+5y=
e
x
cos2x， (2) 根据特征根λ=1±2i可知，方程(1)的特解可设为y
1
*
=Ce
x
代入方程(1)解得C=
， 故y
1
*
=
e
x
；方程(2)的特解可设为 y
2
*
=xe
x
(Acos2x+Bsin2x)， 代入方程(2)解得A=0，B=
xe
x
sin2x。 则y
*
(x)=y
1
*
+y
2
*
=
xe
x
sin2x。 故该方程的通解为 e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)+