设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕戈轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的，πt倍，求该曲线方程。
【正确答案】正确答案：根据旋转体的体积公式， V=∫
1
t
πf
2
(x)dx=π∫
1
t
f
2
(x)dx， 而曲边梯形的面积为s=∫
1
t
f(x)dx，则由题意可知V=πts可以得到 V=π∫
1
t
(x)dx=πt∫
1
t
f(x)dx， 因此可得 ∫
1
t
f
2
(x)dx=t∫
1
t
f(x)dx 上式两边同时对t求导可得 f
2
(t)=∫
1
t
f(x)dx+tf(t)， 即 f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx。 继续求导可得 2f(t)-f"(t)一tf"(t)=f(t)， 化简 [2f(t)一t]f"(t)=2f(t)． 亦即
解这个微分方程得
在f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx中令t=1，则f
2
(1)一f(1)=0，又f(t)＞0，即f(1)=1，将其代入
因此该曲线方程为
解这个微分方程得
在f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx中令t=1，则f
2
(1)一f(1)=0，又f(t)＞0，即f(1)=1，将其代入
因此该曲线方程为
【答案解析】