填空题
微分方程y″+4y=cos2x的通解为y=______.
- 1、
【正确答案】
1、
【答案解析】y″+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是r2+4=0.
它的两个特征根为r1,2=±2i. 因此对应的齐次方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x.λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为
y*=x(Acos2x+Bsin2x)，
则(y*)′=x(-2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x,
(y*)″=-x(4Acos2x+4Bsin2x)-4Asin2x+4Bcos2x.
将上两式代入方程y″+4y=cos2x中，得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x.
比较上式系数得A=0，
故原方程的通解为
它的两个特征根为r1,2=±2i. 因此对应的齐次方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x.λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为
y*=x(Acos2x+Bsin2x)，
则(y*)′=x(-2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x,
(y*)″=-x(4Acos2x+4Bsin2x)-4Asin2x+4Bcos2x.
将上两式代入方程y″+4y=cos2x中，得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x.
比较上式系数得A=0，
故原方程的通解为