计算题

一条河的上游有一家造纸厂，成本函数为C1 ＝P² ＋（x－2）² ，其中P表示纸的产量， x表示造纸时所产生的污染物，该污染物被直接排放到河中。同时，在河的下游有一家渔场，成本函数为C₂ ＝F² ＋2x，其中F表示鱼的产量，假设纸和鱼的销售价格都是给定的，分别为8和4。求：

问答题

造纸厂生产的纸张的数量和排放的污染物数量分别是多少？渔场所生产的鱼的数量是多少？此时造纸厂排放污染物的私人边际成本和社会边际成本分别是多少？

【正确答案】

①对于造纸厂而言，可以控制的变量为P和x，为极大化利润，即：

根据一阶条件，有∂π₁ /∂P＝8－2P＝0， ∂π₁ /∂x＝－2（x－2）＝0，解得P＝4，x＝2。
又因为A＝∂² π₁ /∂P² ＝－2， B＝∂² π₁ /∂P∂x＝0， C＝∂² π₁ /∂x² ＝－2， AC－B²＝4＞0，且A＜0，所以P＝4， x＝2时π₁ 有极大值，代入得π 1max ＝16。
即造纸厂生产的纸张数量为4，排放的污染物数量为2。
②对于渔场而言，受到造纸厂排污x＝2的影响，此时利润函数为

【答案解析】

问答题

如果造纸厂和渔场合并为一家企业，该企业生产的纸张数量、排放污染物的数量以及所生产鱼的数量分别是多少？

【正确答案】

当两家厂商合并为一家企业时，设该家企业为企业3，此时企业3面临的利润函数为π₃ ＝8P＋4F－P² －（x－2）² －F² －2x。
分别对P、 F、 x求偏导，由一阶条件有∂π₃ /∂P＝8－2P＝0， ∂π₃ /∂F＝4－2F＝0，∂π₃ /∂x＝－2（x－2）－2＝0，解得P＝4， F＝2， x＝1。代入二阶导数均小于零，因此此时π₃有极大值。
所以，此时生产4单位纸， 2单位鱼，排放1单位污染物。

【答案解析】