单选题
下述命题：
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f在(-∞，+∞)上连续；
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(-∞，+∞)上有界；
③设f(x)在(-∞，+∞)上为正值的连续函数．则
在(-∞，+∞)上也是正值的连续函数；
④设f(x)在(-∞，+∞)上为正值的有界函数，则
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f在(-∞，+∞)上连续；
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(-∞，+∞)上有界；
③设f(x)在(-∞，+∞)上为正值的连续函数．则
在(-∞，+∞)上也是正值的连续函数；
④设f(x)在(-∞，+∞)上为正值的有界函数，则
【正确答案】
B
【答案解析】[解析] ①与③是正确的，②与④是不正确的，正确的个数为2．
①是正确的．理由如下：设x 0 ∈(-∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中．由题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x 0 处连续，所以在(-∞，+∞)上连续．论证的关键是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的．在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续．
②是不正确的．函数f(x)在[a，b]上有界的“界”是与区间有关的，例如f(x)=x在区间[a，b]上，
，这个“界”与区间[a，b]有关，容易看出，在区间(-∞，+∞)上，f(x)=x就无界了．
③是正确的，理由如下：设x 0 ∈(-∞，+∞)，f(x 0 )＞0且f(x)在x 0 处连续，由连续函数的四则运算法则知，
在x
0
处也连续，所以
在(-∞，+∞)上连续．
④是不正确的．例如函数f(x)=e -x2 ，在区间(-∞，+∞)上，0＜f(x)≤1.所以在(-∞，+∞)上f(x)有界．而
在(-∞，+∞)上显然无界．这是因为
①是正确的．理由如下：设x 0 ∈(-∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中．由题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x 0 处连续，所以在(-∞，+∞)上连续．论证的关键是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的．在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续．
②是不正确的．函数f(x)在[a，b]上有界的“界”是与区间有关的，例如f(x)=x在区间[a，b]上，
，这个“界”与区间[a，b]有关，容易看出，在区间(-∞，+∞)上，f(x)=x就无界了．
③是正确的，理由如下：设x 0 ∈(-∞，+∞)，f(x 0 )＞0且f(x)在x 0 处连续，由连续函数的四则运算法则知，
在x
0
处也连续，所以
在(-∞，+∞)上连续．
④是不正确的．例如函数f(x)=e -x2 ，在区间(-∞，+∞)上，0＜f(x)≤1.所以在(-∞，+∞)上f(x)有界．而
在(-∞，+∞)上显然无界．这是因为