问答题
求函数z=2x
2
-2xy+y
2
在区域D：|x|+|y|≤1上的最大、最小值．
【正确答案】
【答案解析】令
解方程组得驻点(0，0)∈D，且z(0，0)=0，D的边界|x|+|y|=1由四条线段组成：
在L
1
上：z=5x
2
-4x+1=0，由z"
x
=10x-4=0，得
则
故最大值为2，最小值为
在L 2 上：z=x 2 +1，由z" x =2x=0，得x=0，则
z(0)=1，z(1)=2，
故最大值为2，最小值为1．
在L 3 上：z=5x 2 +4x+1，由z" x =10x+4=0，得
则
故最大值为2，最小值为
在L 4 上：z=x 2 +1，由z" x =2x=0，得x=0，则
z(0)=1，z(-1)=2，
故最大值为2，最小值为1．
综上所述，z在D上的最大值为2，最小值为
解方程组得驻点(0，0)∈D，且z(0，0)=0，D的边界|x|+|y|=1由四条线段组成：
| L 1 ：x+y=1， | L 2 ：x-y=1 | (0≤x≤1) | |||||||||||||||||||||
| L 3 ：x+y=-1， | L 4 ：y-x=1 | (-1≤x≤0) | |||||||||||||||||||||
则
故最大值为2，最小值为
在L 2 上：z=x 2 +1，由z" x =2x=0，得x=0，则
z(0)=1，z(1)=2，
故最大值为2，最小值为1．
在L 3 上：z=5x 2 +4x+1，由z" x =10x+4=0，得
则
故最大值为2，最小值为
在L 4 上：z=x 2 +1，由z" x =2x=0，得x=0，则
z(0)=1，z(-1)=2，
故最大值为2，最小值为1．
综上所述，z在D上的最大值为2，最小值为