【答案解析】[证]因为A有n个互不相同的非零特征值λ=1，2，…，n，|A|=n!≠0，故A为可逆矩阵，从而有
|λE-AB|=|A(λA ^-1 -B)|=|A||λE-BA||A ^-1 |=|λE-BA|，
即AB和BA有相同的特征多项式，故有相同的特征值．
又若取可逆矩阵P=A，则有P ^-1 ABP=A ^-1 ABA=BA，故有AB～BA．

【答案解析】[证]若AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0．
若AB有特征值λ≠0，按定义，有
ABξ=λξ(ξ≠0)．
其中ξ是AB的特征值λ对应的特征向量．
左乘B，得BABξ=λBξ，
即BA(Bξ)=λ(Bξ)，
其中Bξ≠0．BA也有非零特征值λ，对应的特征向量为Bξ．(若Bξ=0．则有ABξ=λξ=0．因ξ≠0，得λ=0，这和λ≠0矛盾．)
故AB和BA有相同的特征值．
一般 例如
则有

显然r(AB)=0，r(BA)=1，
故