解答题
28.[2005年] 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－x2)y＂一xy′+y=0，并求其满足y∣x=0=1，y′∣x=0=2的特解．
【正确答案】所给方程为变系数方程，一般直接求解比较困难．给出了自变量替换后，可转化为常系数微分方程，并可求得其通解．为此先将y′，y＂转化为
，再用二阶常系数线性微分方程的求解方法求解．
注意到y是x的函数，x为t的函数，因而y为t的复合函数x为中间变量，则
=(1一cos2t)
=(1一x2)y＂一xy′．
于是原方程可化为
+y=0，其特征方程为r2+1=0，解得r1,2=±i．于是此方程的通解为
y=C1cost+C2sint．于是原方程的通解为y=C1x+C2
由y∣x=0=1，y′∣x=0=2得C1=2，C2=1，故所求方程的特解为y=2x+
，再用二阶常系数线性微分方程的求解方法求解．注意到y是x的函数，x为t的函数，因而y为t的复合函数x为中间变量，则
=(1一cos2t)
=(1一x2)y＂一xy′．于是原方程可化为
+y=0，其特征方程为r2+1=0，解得r1,2=±i．于是此方程的通解为y=C1cost+C2sint．于是原方程的通解为y=C1x+C2
由y∣x=0=1，y′∣x=0=2得C1=2，C2=1，故所求方程的特解为y=2x+
【答案解析】