解答题
设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：
问答题
内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得
f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]；
f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]；
【正确答案】
【答案解析】证明 对任意x∈(-1，1)，根据微分中值定理，得
f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．
因为f"(x)∈C(-1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(-1，1)内保号，不妨设f"(x)＞0，
则f'(x)在(-1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．
f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．
因为f"(x)∈C(-1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(-1，1)内保号，不妨设f"(x)＞0，
则f'(x)在(-1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．
问答题
【正确答案】
【答案解析】证明 由泰勒公式，得
，其中ξ介于0与x之间，
而f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]，所以有
令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得
，其中ξ介于0与x之间，而f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]，所以有
令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得