问答题
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX在正交变换X=QY下化为y
1
2
+y
2
2
，Q的第3列为
【正确答案】正确答案：①条件说明 Q
-1
AQ=Q
T
AQ=
于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列=
(1，0，1)
T
是A的特征值为0的特征向量．记α
1
=(1，0，1)
T
，它也是A的特征值为0的特征向量． A是实对称矩阵，它的属于特征值1的特征向量都和α
1
正交，即是方程式x
1
+x
3
=0的非零解． α
2
=(1，0，一1)
T
，α
3
=(0，1，0)
T
是此方程式的基础解系，它们是A的特征值为1的两个特征向量． 建立矩阵方程 A(α
1
，α
2
，α
3
)=(0，α
2
，α
3
)，两边做转置，得
解此矩阵方程
于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列=
(1，0，1)
T
是A的特征值为0的特征向量．记α
1
=(1，0，1)
T
，它也是A的特征值为0的特征向量． A是实对称矩阵，它的属于特征值1的特征向量都和α
1
正交，即是方程式x
1
+x
3
=0的非零解． α
2
=(1，0，一1)
T
，α
3
=(0，1，0)
T
是此方程式的基础解系，它们是A的特征值为1的两个特征向量． 建立矩阵方程 A(α
1
，α
2
，α
3
)=(0，α
2
，α
3
)，两边做转置，得
解此矩阵方程
【答案解析】