问答题
f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
【正确答案】正确答案：因为f(x)在[0，1]上连续，所以f'(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x
1
，x
2
∈Eo，1]，使f'(x
1
)=m，f'(x
2
)=M． 由中值定理知，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)一f(0)=f'(η)x，于是有 f'(x
1
)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f'(η)x≤Mx=f'(x
2
)x， 积分得
因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理知，必有ξ∈[x
1
，x
2
]
[0，1]或ξ∈[x
2
，x
1
]
[0，1]，使
因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理知，必有ξ∈[x
1
，x
2
]
[0，1]或ξ∈[x
2
，x
1
]
[0，1]，使
【答案解析】