结构推理
已知微分方程
(x2-1)y"-2xy'+2y=0 ①
与微分方程 2yy"-y'2=0 ②
都有解y1=(x-1)2与y2=(x+1)2，问这两个函数的任意线性组合y=C1y1+C2y2是否仍为方程①与方程②的解．
【正确答案】y=C1y1+C2y2是方程①的解而不是方程②的解(除非C1=0或C2=0)．
方程①是齐次线性方程，齐次线性方程解的任意线性组合仍是齐次线性方程的解，因此y=C1y1+C2y2是方程①的解．
方程②是非线性方程，将y=C1y1+C2y2代入方程②的左端，得到2[C1(x-1)2+C2(x+1)2](2C1+2C2)-[2C1(x-1)+2C2(x+1)]2=16C1C2≠0(除非C1=0或C2=0)．因此y=C1y1+C2y2不是方程②的解(除非C1=0或C2=0)．这说明非线性方程解的线性组合一般不再是它的解．
【答案解析】