填空题
函数f(x)=x
2
2
x
在x=0处的n阶导数f
(n)
(0)= 1．
【正确答案】
【答案解析】n(n-1)(ln2)
n-2
(n=1，2，3，…)．
[解析] 解法1 用求函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式．
其中
．注意(x
2
)
(k)
|
x=0
=0(k≠2)，
，于是
f"(0)=0，
因此f (n) (0)=n(n-1)(ln2) n-2 (n=1，2，3，…)．
解法2 利用泰勒展开
，由泰勒展开系数的唯一性，得
，故
其中
．注意(x
2
)
(k)
|
x=0
=0(k≠2)，
，于是
f"(0)=0，
因此f (n) (0)=n(n-1)(ln2) n-2 (n=1，2，3，…)．
解法2 利用泰勒展开
，由泰勒展开系数的唯一性，得
，故