计算题
王先生是一个农场主，他正考虑投资新的农作物。王先生的农场位于黄庄，旁边有一条河。这条河经常发生洪涝灾害，假设黄庄有10％的概率发生洪涝灾害。如果没有发生洪灾，新农作物的投资可以带来2倍的毛收益；如果发生洪灾，农作物将颗粒无收。王先生的初始财富是1万元，他对财富的效用函数为u(ω)=lnω。假设不存在资金借贷的资本市场。(2010年上海财经大学801经济学)
问答题
16.王先生会对新农作物投资多少?
【正确答案】假设王先生对新的农作物投资z万元，若没有发生洪灾会有2x万元的收益，此时王先生的财产为(1+x)万元；若发生洪灾，王先生的财产为(1－x)万元。
由效用函数u(ω)=lnω可知，王先生会选择投资，那么，王先生的期望效用最大化问题为
{0．1×1n(1－x)+0．9×ln(1+x))
对x求一阶导数得
由效用函数u(ω)=lnω可知，王先生会选择投资，那么，王先生的期望效用最大化问题为
{0．1×1n(1－x)+0．9×ln(1+x))对x求一阶导数得
【答案解析】
问答题
17.假设市场上存在许多(风险中性的)竞争性保险公司，他们都愿意对王先生的农作物提供保险服务，计算均衡时的保险费率(即发生灾害时王先生得到1元钱损失补偿从而需要事前向保险公司交的保险费数额)。
【正确答案】若保险公司是竞争性的，则保险公司的期望利润为0，此时的保险费率也被称为公平的保险价格，假设保险费率为f，则0．1×(f×x－x)+0．9×(f×x)=0，解得f=0．1，即保险的公平价格等于风险发生的概率。
【答案解析】
问答题
18.现在王先生确定农作物投资额为X，在该竞争性保费率下，王先生会购买多少保险?(保险公司对赔付的最高额度不超过总的损失额度)此时王先生会对作物最优投资X又是多少?
【正确答案】由王先生的效用函数可知他是风险规避者，在竞争性的保险费率f=0．1的条件下，他会选择完全保险，王先生对作物进行最优投资使得效用函数最大化，即
{0．1×ln(1—0．1z)+0．9×1n(1—0．1z+z))
对x求一阶导数得
{0．1×ln(1—0．1z)+0．9×1n(1—0．1z+z))对x求一阶导数得
【答案解析】