解答题
设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f'(0)≠0，
f"(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．
f"(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．
【正确答案】
【答案解析】[证一] 只需证明存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使
由题设和洛必达法则得
所以 λ1+4λ2+9λ3=0．
因此，λ1，λ2，λ3应满足方程组
因为系数行列式
所以方程组存在唯一解，即存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．
[证二] 由麦克劳林公式得
故有
所以λ1，λ2，λ3应满足方程组
由题设和洛必达法则得
所以 λ1+4λ2+9λ3=0．
因此，λ1，λ2，λ3应满足方程组
因为系数行列式
所以方程组存在唯一解，即存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．[证二] 由麦克劳林公式得
故有
所以λ1，λ2，λ3应满足方程组