【正确答案】(1)消费者效用最大化的问题是：
maxU=X₁X₂
s.t.P₁X₁+P₂X₂=80
当P₁=4，P₂=2时，可得出最优消费束为[*]，此时消费者的效用水平为：U=X₁X₂=200。
当P₁下降到2元时，可得出此时最优消费束为[*]，此时消费者的效用水平为：U=X₁X₂=400。
所以，当P₁从4元下降到2元时，消费者对商品1的购买量从10增加到20，增加了10个单位。
(2)下面在保持原来效用不变的情况下，在新的价格水平下，求出X₁的需求量。此时，最优化问题是：
min2X₁+2X₂
s.t.U=X₁X₂=200
可得出当[*]时，达到了原有的效用水平，且为经过调整后的最优消费束。
所以，X₁价格下降的替代效应使X₁的购买量变化为[*]。即由商品1的价格P₁下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量增加4.14。
(3)由于X₁价格下降的总的变化效应为10(=20-10)，替代效应使得购买量变化为[*]，所以收入效应为[*]。即由商品1的价格下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量增加5.86。