解答题
假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y= —1}=
，P{Y=1}=
，P{Y=1}=
问答题
15.Z=XY的概率密度fZ(z)。
【正确答案】根据题意
，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为
FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y= —1}P{XY≤z｜Y= —1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1}
=P{Y= —1}P{—X≤z｜Y= —1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1}
=P{Y= —1}P{X≥—z}+P{Y=1}P{X≤z}
=
[1—P{X＜—z}]+
P{X≤z}
=
即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为fZ(z)=φ(z)=
，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y= —1}P{XY≤z｜Y= —1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1}
=P{Y= —1}P{—X≤z｜Y= —1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1}
=P{Y= —1}P{X≥—z}+P{Y=1}P{X≤z}
=
[1—P{X＜—z}]+P{X≤z}=
即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为fZ(z)=φ(z)=
【答案解析】
问答题
16.V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)。
【正确答案】由于V=｜X—Y｜只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}=0；当v≥0时，
FV(v)=P{—v≤X—Y≤v}
=P{Y= —1}P{—v≤X—Y≤v｜Y= —1}+P{Y=1}P{—v≤X—Y≤v｜Y=1}
=
P{—v—1≤X≤v—1｜Y= —1}+
P{—v+1≤X≤v+1｜Y=1}
=
P{—v—1≤X≤v—1}+
P{—v+1≤X≤v+1}
=
[Φ(v—1)—Φ(—v—1)]+
[Φ(v+1)—Φ(—v+1)]
=
Φ(v—1)—
[1—Φ(v+1)]+
Φ(v+1)—
[1—Φ(v—1)]
=Φ(v—1)+Φ(v+1)—1。
综上计算可得，
FV(v)=
由于FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为
FV(v)=P{—v≤X—Y≤v}
=P{Y= —1}P{—v≤X—Y≤v｜Y= —1}+P{Y=1}P{—v≤X—Y≤v｜Y=1}
=
P{—v—1≤X≤v—1｜Y= —1}+P{—v+1≤X≤v+1｜Y=1}=
P{—v—1≤X≤v—1}+P{—v+1≤X≤v+1}=
[Φ(v—1)—Φ(—v—1)]+[Φ(v+1)—Φ(—v+1)]=
Φ(v—1)—[1—Φ(v+1)]+Φ(v+1)—[1—Φ(v—1)]=Φ(v—1)+Φ(v+1)—1。
综上计算可得，
FV(v)=
由于FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为
【答案解析】