选择题设函数f(x)在x=x₀处存在三阶导数，且f'(x₀)=0，f'(x₀)=0，f'''(x₀)=a＞0，则

A、 f(x0)是f(x)的极小值．
B、 f(x0)是f(x)的极大值．
C、存在δ＞0，使得对任意的x∈(x0-δ，x0)，曲线y=f(x)是凹的；对任意的x∈(x0，x0+δ)，曲线y=f(x)是凸的．
D、存在δ＞0，使得对任意的x∈(x0-δ，x0)，曲线y=f(x)是凸的；对任意的x∈(x0，x0+δ)，曲线y=f(x)是凹的．

【正确答案】 D

【答案解析】本题需用到如下结论：设f(x)在x=x0处n阶可导(也就是说f(x0)，f'(x0)，f'(x0)，…，f(n)(x0)均存在)，且f'(x0)=0，f'(x0)=0，…，f(n-1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0(n≥2)．情况①：若n为偶数且f(n)(x0)＜0，则x=x0为极大值点；情况②：若n为偶数且f(n)(x0)＞0，则x=x0为极小值点；情况③：若n为奇数，则x=x0不是极值点而是拐点．由于题中说f'(x0)=0，f'(x0)=0，f'''(x0)=a＞0，故根据以上结论可得x=x0不是极值点而是拐点，所以函数值f(x0)既不是函数f(x)的极大值，也不是函数f(x)的极小值，所以选项A和选项B都是错误的．由于题中说f'''(x0)=a，说明函数f'(x)在x=x0。处可导．根据可导的定义可知将题中说的f'''(x0)=a代入式(1)，得将题中说的f'(x0)=0代入式(2)，得由式(3)可知由于题中说a＞0，所以有下面使用极限的局部保号性．首先，对式(4)使用保号性，立刻可得：必存在一个x0的右去心邻域，使得当x在此邻域内取值时，有既然x是在x0的右去心邻域内取值，那么就是说x＞x0，所以x-x0＞0．由于，所以立刻有f'(x)＞0．也就是说：必存在一个x0的右去心邻域，使得当x在此邻域内取值时，有f'(x)＞0．对式(5)使用保号性也是同理．