设矩阵
【正确答案】正确答案：因为3是A的特征值，故|3E—A|=8（3一y一1）=0，解得y=2。于是
由于A
T
=A，要（AP）
T
（AP）=P
T
A
2
P=A，而A
2
=
是对称矩阵，即要A
2
～Λ， 故可构造二次型x
T
A
2
x，再化其为标准形。由配方法，有 x
T
A
2
x=x
1
2
+5x
3
2
+5x
4
2
+8x
3
x
4
=y
1
2
+y
2
2
+5y
3
2
+
y
4
2
， 其中y
1
=x
1
，y
2
=x
2
，y
3
=x
3
+
x
4
，y
4
=x
4
，即
于是 （AP）
T
（AP）=P
T
A
2
P=
由于A
T
=A，要（AP）
T
（AP）=P
T
A
2
P=A，而A
2
=
是对称矩阵，即要A
2
～Λ， 故可构造二次型x
T
A
2
x，再化其为标准形。由配方法，有 x
T
A
2
x=x
1
2
+5x
3
2
+5x
4
2
+8x
3
x
4
=y
1
2
+y
2
2
+5y
3
2
+
y
4
2
， 其中y
1
=x
1
，y
2
=x
2
，y
3
=x
3
+
x
4
，y
4
=x
4
，即
于是 （AP）
T
（AP）=P
T
A
2
P=
【答案解析】