问答题
设A是n阶矩阵，A的第i行，第j列的元素a
ij
=i·j，求
(Ⅰ)r(A)；
(Ⅱ)A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．
(Ⅰ)r(A)；
(Ⅱ)A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．
【正确答案】
【答案解析】解 法一 (Ⅰ)由题设条件知
，且
，故r(A)=1．
(Ⅱ)由A的特征多项式
故A有特征值
当λ 1 =λ 2 =…=λ n-1 =0时，方程组(λE-A)x=0就是方程组Ax=0，其同解方程是x 1 +2x 2 +…+nx n =0，解得对应的特征向量为k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-1 ξ n-1 ，其中ξ 1 =(-2，1，0，…，0) T ，ξ 2 =(-3，0，1，0，…，0) T ，…，ξ n-1 =(-n，0，…，0，1) T ，k 1 ，k 2 ，…，k n-1 为不全为零的任意常数．
当
时，(λ
n
E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换，得
方程组的同解方程组为
解得对应的特征向量为k n ξ n ，其中ξ n =(1，2，…，n) T ，k n 为任意的非零常数．
从而知A有，n个线性无关的特征向量，
，取
则
法二 (Ⅰ)由题设条件
，A中第i行元素是第1行的i倍，故有
其中α=(1，2，…，n) T ≠0．故r(A)=1．
(Ⅱ)因
，故知A的特征值为0，
当λ=0时，对应的特征向量满足Ax=αα T x=0，因
在方程αα
T
x=0两边左乘α
T
，
得α T (αα T x)=(α T α)α T x=0，得α T x=0．
当α T x=0时，两边左乘α，得αα T =0，故方程组αα T x=0与α T x=0同解．解方程α T x=O，得线性无关的特征向量为
ξ 1 =(-2，1，0，…，0) T ，ξ 2 =(-3，0，1，0，…，0) T ，…，ξ n-1 =(-n，0，…，0，1) T ，
因此对应于λ=0的特征向量为k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-1 ξ n-1 ，k 1 ，k 2 ，…，k n-1 为不全为零的任意常数．
又
，故A有一个非零特征值
当
时，由(λ
n
E-A)x=(αα
T
E-αα
T
)x=0，当x=α时，有
(α T αE-αα T )α=(α T α)α-(αα T )α=(α T α)α=α(α T α)=0，
故α=k n (1，2，…，n) T (k n ≠0)是对应于
，且
，故r(A)=1．
(Ⅱ)由A的特征多项式
故A有特征值
当λ 1 =λ 2 =…=λ n-1 =0时，方程组(λE-A)x=0就是方程组Ax=0，其同解方程是x 1 +2x 2 +…+nx n =0，解得对应的特征向量为k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-1 ξ n-1 ，其中ξ 1 =(-2，1，0，…，0) T ，ξ 2 =(-3，0，1，0，…，0) T ，…，ξ n-1 =(-n，0，…，0，1) T ，k 1 ，k 2 ，…，k n-1 为不全为零的任意常数．
当
时，(λ
n
E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换，得
方程组的同解方程组为
解得对应的特征向量为k n ξ n ，其中ξ n =(1，2，…，n) T ，k n 为任意的非零常数．
从而知A有，n个线性无关的特征向量，
，取
则
法二 (Ⅰ)由题设条件
，A中第i行元素是第1行的i倍，故有
其中α=(1，2，…，n) T ≠0．故r(A)=1．
(Ⅱ)因
，故知A的特征值为0，
当λ=0时，对应的特征向量满足Ax=αα T x=0，因
在方程αα
T
x=0两边左乘α
T
，
得α T (αα T x)=(α T α)α T x=0，得α T x=0．
当α T x=0时，两边左乘α，得αα T =0，故方程组αα T x=0与α T x=0同解．解方程α T x=O，得线性无关的特征向量为
ξ 1 =(-2，1，0，…，0) T ，ξ 2 =(-3，0，1，0，…，0) T ，…，ξ n-1 =(-n，0，…，0，1) T ，
因此对应于λ=0的特征向量为k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-1 ξ n-1 ，k 1 ，k 2 ，…，k n-1 为不全为零的任意常数．
又
，故A有一个非零特征值
当
时，由(λ
n
E-A)x=(αα
T
E-αα
T
)x=0，当x=α时，有
(α T αE-αα T )α=(α T α)α-(αα T )α=(α T α)α=α(α T α)=0，
故α=k n (1，2，…，n) T (k n ≠0)是对应于