(1998年试题，十)已知二次曲面方程x
2
+ay
2
+z
2
+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换
【正确答案】正确答案：设二次型为f(x，y，z)=x
2
+ay
2
+=z
2
+2bxy+2xz+2yz则相应矩阵为
同时该二次型的标准形为f
1
(ξ，η，ζ)=η
2
+4ζ
2
，其相应矩阵为
由于正交变换也是相似变换，不改变矩阵的特征值，因此λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=4也是矩阵A的特征值，由特征值多项式｜A—λE｜=0，有
将λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=4代入，可解得a=3且b=1．以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵P．当λ
1
=0，有Ax=0，ξ
1
=
当λ
2
=1，有(A—E)x=0，ξ
2
=
当λ
3
=4，有(A一4I)x=0，ξ
3
=
从而正交变换矩阵为
同时该二次型的标准形为f
1
(ξ，η，ζ)=η
2
+4ζ
2
，其相应矩阵为
由于正交变换也是相似变换，不改变矩阵的特征值，因此λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=4也是矩阵A的特征值，由特征值多项式｜A—λE｜=0，有
将λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=4代入，可解得a=3且b=1．以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵P．当λ
1
=0，有Ax=0，ξ
1
=
当λ
2
=1，有(A—E)x=0，ξ
2
=
当λ
3
=4，有(A一4I)x=0，ξ
3
=
从而正交变换矩阵为
【答案解析】解析：本题在求参数a，b时，亦可利用条件∑a
ij
=∑b
ij
和｜A｜=｜B｜来求得.