【正确答案】(1)由于对任意实数x，y有f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，取x=y=0，得f(0)=2f(0)，即f(0)=0，且f(x)在x=0连续，即有[*]
对任意x₀∈(-∞，+∞)，x₀≠0，有
[*]
由x₀的任意性，知f(x)在(-∞，+∞)连续．
(2)已知[*]，对任意的x₀∈(-∞，+∞)，x₀≠0，有
[*]
即f(x)在x=x₀可导，且由x₀的任意性知f(x)在(-∞，+∞)可导．
(3)由(2)知对任意x∈(-∞，+∞)，有f'(x)=f(x)+f'(0)e^x，记a=f'(0)，则有y'-y=ae^x，于是
[*]
=ce^x+axe^x(c为任意常数)，
代入y|_x=0=0，得c=0，从而
f(x)=axe^ax=f'(0)xe^x．

【答案解析】[考点] 讨论一元函数，连续，可导，并解一元微分方程